pada tanggal Januari 27, 2021

Metode Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah
Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
Baris nol terletak paling bawah
1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
Dibawah 1 utama harus nol

Contoh soal
Diberikan sistem persamaan linear sebagai berikut.
   $\begin{equation} \begin{split} a-4b+2c+3d&=2\\ 2a+b+3c-d&=0\\ 4a+b+2c-3d&=1\\ 3a-4b-2c+2d&=8 \end{split} \end{equation}$
Dengan menggunakan metode eleminasi Gauss-Jordan, tentukan penyelesaian sistem persamaan linear di atas.

Penyelesaian :
Matrik perluasan dari SPL di atas adalah
   $\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & | & 2\\ 2 & 1 & 3 & -1 & | & 0\\ 4 & 1 & 2 & -3 & | & 1\\ 3 & -4 & -2 & 2 & | & 8 \end{bmatrix} \end{equation}$
Selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan metode operasi Gauss-Jordan.
   $\begin{equation} \begin{split} \begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & | & 2\\ 2 & 1 & 3 & -1 & | & 0\\ 4 & 1 & 2 & -3 & | & 1\\ 3 & -4 & -2 & 2 & | & 8 \end{bmatrix}\xrightarrow{b_{2}-2b_{1}, b_{3}-4b_{1}, b_{4}-3b_{1}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 9 & -1 & -7 & \mid & -4\\ 0 & 17 & -6 & -15 & \mid & -7\\ 0 & 8 & -8 & -7 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{2}-b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 17 & -6 & -15 & \mid & -7\\ 0 & 8 & -8 & -7 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}-17b_{2},b_{4}-8b_{2}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -125 & -15 & \mid & 95\\ 0 & 0 & -64 & -7 & \mid & -50 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}+2b_{4}}&\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5\\ 0 & 0 & -64 & -7 & \mid & -50 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{4}+21b_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}\leftrightarrow b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55\\ 0 & 0 & 3 & -1 & \mid & -5 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{4}+3b_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & -1 & -28 & \mid & -55\\ 0 & 0 & 0 & -85 & \mid & -170 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}x (-1), b_{4}: (-85)} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 1 & 28 & \mid & 55\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \xrightarrow{b_{3}-28b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 7 & 0 & \mid & -6\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation}$
   $\begin{equation} \begin{split} \hspace{2cm}\xrightarrow{b_{2}-7b_{3}} &\begin{bmatrix} 1 & -4 & 2 & 3 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \hspace{2cm}\xrightarrow{b_{1}+4b_{2}-2b_{3}-3b_{4}} &\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \mid & 2\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \mid & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \mid & -1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \mid & 2 \end{bmatrix}\\ \end{split} \end{equation}$
Jadi penyelesaian SPL di atas adalah $a=2, b=1, c=-1, d=2$

Komentar